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補充資料 |
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數學趣聞-化圓為方問題
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化圓為方問題 |
化圓為方問題 (Problem of the quadrature of circle) 是二千四百多年前由古希臘人所提出的三大幾何作圖問題之一：作一正方形，使其面積和已知圓的面積相等。但古希臘要求的作圖工具為圓規和沒有刻度的直尺，使化圓為方問題的難度大增。
安納薩戈拉斯是最早研究化圓為方問題的人，他因「不敬神」的罪名被捕入獄。他在獄中鑽研化圓為方問題，遺憾地，他的成果到了最後失傳。其後更有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等著名的研者挑戰化圓為方問題，但終以失敗收場。
化圓為方問題曾吸引許多人研究，但無一成功。十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位，則尺規可作的線段長必為代數數 。到了 1882 年，由法國數學家林德曼 (Von Lindemann) 證明了 p 是超越數，也同時解決了化圓為方問題以尺規作圖的不可能性。因為化圓為方問題相當於求作長為√p 的線段，但√p 並非代數數，因此尺規不可作。化圓為方問題由二千四百多年前的古希臘人提出，直到十九世紀才被解決，在數學史上經歷了二千三百多年。
化圓為方問題在數學史上經歷了二千三百多年，在這二千多年間，對數學界帶出了新的分支。希臘的安提豐為了解決化圓為方問題而提出的「窮竭法」是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形（或正６邊形），然後每次 將邊數加倍，得內接８、１６、３２、…邊形，他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合， 這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米得 (Archimedes of Syracuse) 計算圓周率方法的先導，與中國劉徽的割圓術不謀而合，對窮竭法等科學方法的建立產生直接影響。
如果「化圓為方」這問題不局限於尺規作圖，它的解決方法有很多種。達‧芬奇 (Da Vinci) 用已知圓為底，圓半徑的一半為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰好為圓的面積。
以 2 pr + r / 2 為直徑畫一個半圓形，在 A 點作一條與線段 EF 垂直的直線並與圓周相交於 B 點。然後再以 AB 為邊長作正方形 ABCD 。
根據畢氏定理(Pythagorean theorem)，我們可以得出以下方程：
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BE2 = AE2 + AB2 |
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BF2 = AF2 + AB2 |
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EF2 = BE2 + BF2 |
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\EF2 = AE2 + AF2 + 2AB2 |
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(2 pr + r / 2)2 = (2 pr)2 + (r / 2)2 + 2AB2 |
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2AB2 = 2 pr2 |
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\AB2 = pr2 |
以上証明了正方形 ABCD 的面積為 pr2 ，和已知圓的面積相等。雖然這方法的確把圓「化為方」，但讓圓柱在平面上滾動一周在尺規作圖中是不允許的，所以達‧芬奇並沒有真正解決化圓為方問題。
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